【arctanx的不定积分怎么求】在微积分中，求解函数的不定积分是基本且重要的技能之一。对于反三角函数如 $ \arctan x $ 的不定积分，虽然看似复杂，但通过适当的积分技巧可以较为简便地求出结果。本文将总结 $ \arctan x $ 的不定积分方法，并以表格形式展示关键步骤和公式。

一、求解思路

$ \arctan x $ 的不定积分可以通过分部积分法来求解。其核心思想是将原式拆分为两个部分，分别进行积分处理。

设：

$$

\int \arctan x \, dx

$$

令：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

则：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

根据分部积分公式：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

代入得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来计算右边的积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{1}{2} dt $，因此：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

所以最终结果为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

二、关键步骤总结（表格形式）

三、结论

通过分部积分法，我们可以有效地求出 $ \arctan x $ 的不定积分。该过程涉及对反三角函数的求导以及对有理函数的积分技巧，是学习积分过程中常见的练习题之一。掌握这一方法有助于理解更复杂的积分问题，同时加深对分部积分法的理解。

提示： 在实际应用中，也可以借助积分表或数学软件验证结果是否正确，但理解推导过程才是提升能力的关键。