【arctanx的导数是什么】在微积分中，反三角函数的求导是一个重要的知识点。其中，arctanx（即反正切函数）的导数是数学学习中的常见问题之一。掌握其导数有助于解决相关的积分、微分方程等问题。

一、arctanx导数的基本结论

arctanx 的导数为：

$$

\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

$$

这个结果可以通过反函数的求导法则或隐函数求导法进行推导。

二、推导过程简要说明

设 $ y = \arctan x $，则有 $ x = \tan y $。对两边关于 $ x $ 求导：

$$

\frac{dx}{dy} = \sec^2 y

$$

因此，

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\sec^2 y}

$$

又因为 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2 $，所以：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}

$$

三、总结与表格展示

四、注意事项

- arctanx 的定义域为全体实数 $ (-\infty, +\infty) $，值域为 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $。

- 导数公式适用于所有实数 $ x $，且导数始终为正，说明 arctanx 是一个单调递增函数。

- 在实际应用中，该导数常用于求解积分和微分方程，例如：

$$

\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x + C

$$

通过以上内容，我们可以清晰地了解 arctanx 的导数及其推导逻辑，有助于加深对反三角函数的理解和应用。